Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например:
Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.
Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая:
система не имеет решений;
система имеет ровно одно решение;
система имеет бесконечно много решений.
I. Решение системы линейных уравнений методом подстановки.
Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных.
Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде.
Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.
Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.
Решаем.
Из первого уравнения системы выражаем:
. Это и есть подстановка.
Полученное выражение подставляем во второе уравнение системы вместо переменной
Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение 
:
4) Далее возвращаемся к подстановки
, чтобы вычислить значение 
.Значение нам уже известно, осталось найти:
5) Пара 
– единственное решение заданной системы.
Ответ: (2,4; 2,2).
После того, как решена любая система уравнений любым способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.
1) Подставляем найденный ответ первое уравнение: 
– получено верное равенство.
2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение: 
– получено верное равенство.
Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов – выразить из второго или из первого уравнения:
или 
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений
II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений можно использовать не метод подстановки, а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы. Этот метод экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.
Решить систему линейных уравнений:
Возьмём ту же систему, что и первом примере.
1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной у одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
2) Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.
3) Теперь всё просто: 
– подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе):
В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
Ответ: (2,4; 2,2).
Пример 4
Решить систему линейных уравнений:
В данном примере можно использовать метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени, и велика вероятность допустить ошибку.
Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:
Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и –2) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и –18.
Будем рассматривать коэффициенты при переменной .
14х – 9у = 24;
7х – 2у = 17.
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты.
Второе уравнение умножаем на 14: 7 =2.
В результате:
Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.
Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.
Теперь подставляем найденное значение в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:
Ответ: (3:2)
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной .
14х – 9у = 24;
7х – 2у = 17.
Очевидно, что вместо пары коэффициентов (-9 и –3) нам нужно получить 18 и –18.
Для этого первое уравнение умножаем на (-2), второе уравнение умножаем на 9:
Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
Теперь подставляем найденное значение х в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:
Ответ: (3:2)
Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Чаще всего при решении систем стремятся складывать и умножать, а не вычитать и делить.
Пример 5
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
Пример 6.
Решить систему уравнений
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения 
а из второго 
Ответ: Решений нет.
Пример 7.
решить систему уравнений
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
III. Решение системы c помощью матриц
.
Определителем этой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Урок и презентация на тему: "Системы уравнений. Метод подстановки, метод сложения, метод введения новой переменной"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Тренажер к учебникам Атанасяна Л.С.
Тренажер к учебникам Погорелова А.В.
Способы решения систем неравенств
Ребята, мы с вами изучили системы уравнений и научились решать их с помощью графиков. Теперь давайте посмотрим, какие еще существуют способы решения систем?Практически все способы их решения не отличаются от тех, что мы изучали в 7 классе. Сейчас нам нужно внести некоторые корректировки согласно тем уравнениям, что мы научились решать.
Суть всех методов, описанных в данном уроке, это замена системы равносильной системой с более простым видом и способом решения. Ребята, вспомните, что такое равносильная система.
Метод подстановки
Первый способ решения систем уравнений с двумя переменными нам хорошо известен - это метод подстановки. С помощью этого метода мы решали линейные уравнения. Теперь давайте посмотрим, как решать уравнения в общем случае?Как же нужно действовать при решении?
1. Выразить одну из переменных через другую. Чаще всего в уравнениях используют переменные x и y. В одном из уравнений выражаем одну переменную через другую. Совет: внимательно посмотрите на оба уравнения, прежде чем начать решать, и выберете то, где будет легче выразить переменную.
2. Полученное выражение подставить во второе уравнение, вместо той переменной, которую выражали.
3. Решить уравнение, которое у нас получилось.
4. Подставить получившееся решение во второе уравнение. Если решений несколько, то подставлять надо последовательно, чтобы не потерять пару решений.
5. В результате вы получите пару чисел $(x;y)$, которые надо записать в ответ.
Пример.
Решить систему с двумя переменными методом подстановки: $\begin{cases}x+y=5, \\xy=6\end{cases}$.
Решение.
Внимательно посмотрим на наши уравнения. Очевидно, что выразить y через x в первом уравнении гораздо проще.
$\begin{cases}y=5-x, \\xy=6\end{cases}$.
Подставим первое выражение во второе уравнение
$\begin{cases}y=5-x, \\x(5-2x)=6\end{cases}$.
Решим второе уравнение отдельно:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Получили два решения второго уравнения $x_1=2$ и $x_2=3$.
Последовательно подставим во второе уравнение.
Если $x=2$, то $y=3$. Если $x=3$, то $y=2$.
Ответом будет две пары чисел.
Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$.
Метод алгебраического сложения
Этот метод мы также изучали в 7 классе.Известно, что рациональное уравнение от двух переменных мы можем умножить на любое число, не забывая умножить обе части уравнения. Мы умножали одно из уравнений на некое число так, чтобы при сложении получившегося уравнения со вторым уравнением системы, одна из переменных уничтожалась. Потом решали уравнение относительно оставшейся переменной.
Этот метод работает и сейчас, правда не всегда возможно уничтожить одну из переменных. Но позволяет значительно упростить вид одного из уравнений.
Пример.
Решить систему: $\begin{cases}2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Решение.
Умножим первое уравнение на 2.
$\begin{cases}4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Как видим, вид получившегося уравнения гораздо проще исходного. Теперь мы можем воспользоваться методом подстановки.
$\begin{cases}4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Выразим x через y в получившемся уравнении.
$\begin{cases}4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end{cases}$.
Получили $y=-1$ и $y=-3$.
Подставим эти значения последовательно в первое уравнение. Получим две пары чисел: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Ответ: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Метод введения новой переменной
Этот метод мы также изучали, но давайте посмотрим на него еще раз.Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.
Решение.
Введем замену $t=\frac{x}{y}$.
Перепишем первое уравнение с новой переменной: $t+\frac{2}{t}=3$.
Решим получившееся уравнение:
$\frac{t^2-3t+2}{t}=0$.
$\frac{(t-2)(t-1)}{t}=0$.
Получили $t=2$ или $t=1$. Введем обратную замену $t=\frac{x}{y}$.
Получили: $x=2y$ и $x=y$.
Для каждого из выражений исходную систему надо решить отдельно:
$\begin{cases}x=2y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$. $\begin{cases}x=y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\8y^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y, \\2y^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\7y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y, \\y=±1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=±\frac{2}{\sqrt{7}}, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=±1, \\y=±1\end{cases}$.
Получили четыре пары решений.
Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(-\frac{2}{\sqrt{7}};-\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{2}{x-3y}+\frac{3}{2x+y}=2, \\\frac{8}{x-3y}-\frac{9}{2x+y}=1\end{cases}$.
Решение.
Введем замену: $z=\frac{2}{x-3y}$ и $t=\frac{3}{2x+y}$.
Перепишем исходные уравнения с новыми переменными:
$\begin{cases}z+t=2, \\4z-3t=1\end{cases}$.
Воспользуемся методом алгебраического сложения:
$\begin{cases}3z+3t=6, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}7z=7, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\-3t=1-4\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\t=1\end{cases}$.
Введем обратную замену:
$\begin{cases}\frac{2}{x-3y}=1, \\\frac{3}{2x+y}=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x-3y=2, \\2x+y=3\end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки:
$\begin{cases}x=2+3y, \\4+6y+y=3\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3y, \\7y=-1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3(\frac{-1}{7}), \\y=\frac{-1}{7}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=\frac{11}{7}, \\x=-\frac{11}{7}\end{cases}$.
Ответ: $(\frac{11}{7};-\frac{1}{7})$.
Задачи на системы уравнений для самостоятельного решения
Решите системы:1. $\begin{cases}2x-2y=6, \\xy =-2\end{cases}$.
2. $\begin{cases}x+y^2=3, \\xy^2=4\end{cases}$.
3. $\begin{cases}xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end{cases}$.
4. $\begin{cases}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4, \\\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=9\end{cases}$.
5. $\begin{cases}\frac{5}{x^2-xy}+\frac{4}{y^2-xy}=-\frac{1}{6}, \\\frac{7}{x^2-xy}-\frac{3}{y^2-xy}=\frac{6}{5}\end{cases}$.
1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение.
Из первого уравнения системы выражаем у
через х
и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему 
равносильную исходной.
После приведения подобных членов система примет вид:
Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
Задача. Решить систему уравнение:
Решение.
Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему 
равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе 
После приведения подобных членов данная система примет вид: 
Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х
+ 4у
= 5, получим 
, откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение.
Запишем данную систему иначе: 
Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему
Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u
через v
и подставим во второе уравнение системы. Получим систему 
т.е. 
Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.
Подставив эти значения в уравнение u
= 5 - v
, получим u
1 = 3,
u
2 = 2. Тогда имеем две системы
Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить системы уравнений методом подстановки.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
