Вспомните, как вы в детстве качались на качелях. Сначала вы просто сидели на качелях и вас кто-то раскачивал, а потом вы научились раскачиваться сами. Это можно делать двумя способами - сидя или стоя на качелях. Когда качели кто-то качает, физический механизм ясен: периодически прикладывая к качелям силу в направлении их движения, этот кто-то вызывает их ускорение и увеличивает скорость качания. А когда вы сами качаетесь стоя, вы периодически приседаете, и сила толчков прикладывается в направлении, перпендикулярном направлению движения качелей! Почему же при этом качели раскачиваются?
Подсказка
Если качели находятся в строго вертикальном положении, приседанием их раскачать невозможно. Рассмотрите ситуацию, когда качели уже качаются. Каково будет влияние периодического приседания в этом случае? Подумайте, в какие моменты надо приседать, а в какие надо распрямлять ноги.
Решение
Рассмотрим в качестве модели качелей маятник переменной длины. Когда качающийся приседает, его центр тяжести опускается, и длина маятника увеличивается. Когда качающийся распрямляет ноги, центр тяжести поднимается, и длина маятника уменьшается.
Пусть наш маятник уже качается с небольшой амплитудой. Мгновенно уменьшим длину маятника в момент прохождения им нижней точки. Из закона сохранения момента импульса следует, что при этом произведение скорости маятника на его длину не изменится. Таким образом, скорость маятника — и, соответственно, энергия — возрастет. Обладая большей энергией, маятник отклонится на больший угол. В момент наибольшего отклонения длину маятника можно вернуть к исходной величине. Повторяя процесс периодически, можно раскачивать маятник всё сильнее.
Можно привести и математический расчет. Пусть в нижней точке длина маятника изменяется от величины L 1 к величине L 2 < L 1 . Тогда скорость маятника возрастает: v 2 = v 1 ·L 1 /L 2 . Применяя закон сохранения энергии и считая углы малыми, можно найти величины отклонений φ 1 и φ 2: φ i = v i /(gL i ) 1/2 , где i = 1, 2. Отсюда φ 2 /φ 1 = (L 1 /L 2) 3/2 . То есть, например, если изменять длину маятника на 10%, увеличение амплитуды составит около 15% за один проход, или около 30% за период.
Вернемся теперь от модели к исходной задаче. Становится ясно, что качели будут раскачиваться, если приседать в моменты максимального отклонения, а распрямлять ноги в момент прохода нижней точки. Для оценки рассмотрим ситуацию, когда расстояние от оси качелей до центра тяжести системы «качающийся + качели» составляет 2 метра, а приседает он так, что центр масс опускается на 20 см. Тогда, по формуле из предыдущего параграфа, раскачка происходит со скоростью около 30% за период, то есть довольно быстро.
Подумайте также над следующими вопросами. Во-первых, за счет чего происходит увеличение энергии качелей? Во-вторых, разобравшись с качанием стоя, попробуйте описать механизм качания сидя, когда качающийся сидит на качелях и периодически сгибает-разгибает ноги и перемещает туловище. Ответы можно писать в комментариях к задаче.
Послесловие
Описанное в задаче явление — частный случай так называемого параметрического резонанса . Резонанс обычный - это раскачивание системы периодическим внешним воздействием. А резонанс параметрический - это раскачивание путем периодического изменения параметров системы. В данном случае - расстояния от оси качелей до центра тяжести качающегося, или длины маятника.
Параметрический резонанс имеет ряд отличий от обычного резонанса. Во-первых, отличаются частоты, на которых наблюдается резонанс. Так, при раскачивании внешней силой наиболее эффективным будет подталкивать качели каждый раз, когда они проходят нижнюю точку. Таким образом, частота воздействия равна собственной частоте системы. При параметрической раскачке, как мы видели, наиболее эффективно уменьшать длину маятника дважды за период. Таким образом, резонанс возникает на удвоенной собственной частоте.
Вторая особенность заключается в том, что для возникновения параметрического резонанса в системе изначально должны быть колебания. Параметрическая раскачка усиливает их амплитуду, но не способна породить колебания, если они изначально отсутствовали. На практике роль таких «затравочных» колебаний могут играть неизбежные случайные отклонения.
Параметрический резонанс используется не только при качании на качелях, но и во многих областях современной науки и техники. Широко применяются параметрические усилители слабых радиосигналов, например в радиоастрономии и радиолокации. Другой пример - сверхмощные лазеры на основе оптических параметрических усилителей. В таких лазерах относительно слабый «затравочный» сигнал попадает в специальный кристалл, где он многократно усиливается с помощью параметрического резонанса.
«Механический резонанс» - Томас Юнг. Механический резонанс. Резонаторы – усилители колебаний вибраторов. Механический язычковый частотомер - прибор для измерения частоты колебаний. Резонанс и музыкальные инструменты Резонатор. Резонансные полости голосового аппарата. Землетрясения. Положительное значение резонанса Частотомер.
«Колебания физика» - определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. то есть скорость опережает смещение на?/2. Т – зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения. Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды.
«Уравнения колебаний» - Явление резонанса. Уравнение динамики гармонических колебаний. Колебания груза. Закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний. Круговая частота. Начальная разность фаз. Найдем суммарную амплитуду. Фигуры Лиссажу. Резонансная частота. Анкер. Точка. Найдем разность фаз. Энергия гармонических колебаний.
«Звуковой резонанс» - Основные звуки такого рода резонаторов очень низки. Резонанс. Приведя в колебание один камертон, можно заметить, что и другой камертон зазвучит сам собою. Понятие. Резонанс и резонаторы и в музыке играют огромную роль. То же получается и с двумя одинаково настроенными струнами. Проведя смычком по одной струне, мы вызовем колебанья и другой.
«Колебательное движение» - Маятник часов. Особенность колебательного движения. Ветки деревьев. Крайнее левое положение. Колебательные системы. Примеры колебательных движений. Колебательное движение. Игла швейной машинки. Положение равновесия. Качели. Амплитудное смещение. Рессоры вагона. Крайнее правое положение. Механизм колебания.
«Колебательное движение тела» - Математический и пружинный маятники. Примеры решения задач. Два маятника отклонены от положения равновесия и одновременно отпущены. Пружинный маятник. Колебательные движения. Колебания бывают механические, электромагнитные, химические. Затухающие колебания. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника.
Всего в теме 14 презентаций
Вариант I
1. Какое из перечисленных ниже движений является механическим колебанием? 1) движение качелей; 2) движение мяча, падающего на землю.
а) только 1; б) только 2;
в) 1 и 2; г) ни 1, ни 2.
2. Какие из перечисленных ниже колебаний являются свободными? 1) колебания груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия; 2) колебания диффузного громкоговорителя во время работы приемника.
а) только 1; б) только 2;
в) 1 и 2; г) ни 1, ни 2.
а) 8с; б) 4 с;
в) 2 с; г) 0,5 с;
4. По условию задачи 3 определите частоту колебаний,
в) 2 Гц; г) 0,5 Гц;
д) среди ответов а) - г) нет правильного ответа.
5. На рис. 1 представлена зависимость х, координаты колеблющегося тела от времени. Какова амплитуда колебаний?
6) 0,1м- г) 0,5 м; е)0м.
6. По рис 1 определите, чему равен период колебаний?
б) 0,2 с; г) 0,4 Гц; е) 1 Гц.
а) 1с; в) 0.4 с; Д) 0,2 Гц;
7. По рис.1 определите частоту колебаний,
б) 2 с; г) 0,5 Гц; е) 1 Гц а) 1с; в) 4 с; д) 0,25 Гц;
8*. Найдите потенциальную и кинетическую энергии тела массой 3 кг, падающего свободно с высоты 7 м, на расстоянии 3 м от поверхности земли
9*.Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10т и застревает в песке. С какой скоростью стала двигаться платформа?
II вариант
1. Какое из перечисленных ниже движений является механическим колебанием? 1) движение звучащей струны гитары; 2) движение спортсмена, совершающего прыжок в длину.
а) ни 1, ни 2; б) 1 и 2;
в) только 1; г) только 2.
2. Какие из перечисленных ниже колебаний являются вынужденными? 1) колебания груза на нити, один раз отведенного от положения равновесия и отпущенного; 2) колебания качелей, раскачиваемых человеком, стоящим на земле.
а) 1 и 2; б) только 1; в) только 2; г) ни 1, ни 2.
а) 6с; б) 3 с;
в) 2 с г) 0,5 с;
4. По условию задачи 3 определите частоту колебаний,
а) 0,5 Гц; б) 2 Гц;
в) 3 Гц; г) 6 Гц;
5
.
На рис. 1
представлена зависимость координаты
колеблющегося тела от времени.
Какова
амплитуда колебаний?
а) - 3 м; б) 0; г) 3 м;
д) 4; е) 6 м. в) 2 м;
6. По рис. 1 определите, чему равен период колебаний?
а) 2 с; в) 8 с;
б) 4 с; г) 0,5 Гц; е} 1/8 Гц.
7. По рис. 1 определите частоту колебаний,
а) 2 с; б) 4 с; в) 8 с; г) 0,5 Гц; д) 0,25 Гц; е) 1/8 Гц;
8* Камень, брошенный с поверхности земли со скоростью 10 м/с, в верхней точке траектории обладал кинетической энергией 10 Дж. Определите массу камня.
9* Какое из тел имеет больший импульс: тело массой 2т, движущееся со скоростью 36км/ч или тело массой 6 кг, летящее со скоростью 400м/с?
Помните историю о том, как великий фантазер барон Мюнхгаузен вытащил сам себя за волосы из болота? Как и все небылицы бессмертного барона, она с «секретом», со скрытым подтекстом.
Недавно, гуляя по парку, я забрел на детскую площадку. Занятно было смотреть, с каким увлечением ребята раскачивались на качелях. Мне стало интересно, понимают ли сами ребята, почему, лишь приседая и привставая на сиденье качелей, можно взлетать так высоко. Начать я решил с опыта, на первый взгляд не связанного с качелями.
Я выбрал долговязого паренька, обутого в тяжелые туристские ботинки, и предложил ему проделать упражнение. По моей просьбе паренек, подпрыгнув, схватился обеими руками за гимнастическое кольцо, подвешенное к горизонтальной перекладине, и раздвинул ноги в стороны.
Затем я слегка раскрутил паренька, так, чтобы он делал не более одного оборота в секунду, после чего попросил его резко свести ноги. Под веселый смех товарищей паренек завертелся с такой скоростью, что даже испугался и закричал: «Остановите меня!»
- Раздвинь ноги, как вначале! - посоветовал я ему. Он послушался, и вращение резко замедлилось. Ребята удивились и попросили объяснить им, отчего так произошло.
Дело в том, что инерция тела, то есть его способность сохранять в неизменности величину и направление своей скорости, определяется не только собственной массой, но еще и моментом инерции. Момент инерции тела относительно оси его вращения равен произведению массы тела на квадрат расстояния до оси. Раздвинув ноги, да еще обутые в тяжелые ботинки, паренек резко увеличил момент инерции. Раскрутив его в таком положении, я затратил гораздо больше сил, чем если бы он висел, вытянувшись в струнку. В последнем случае его можно было бы с теми же усилиями раскрутить до значительно большей скорости. Именно это и произошло с длинноногим пареньком, когда он свел ноги вместе. Один из законов механики гласит, что произведение момента инерции тела на его угловую скорость при вращении (так называемый кинетический момент) есть величина постоянная, если, конечно, мы не разгоняем или не тормозим это тело другими телами - словом, не воздействуем на него извне. Прибавил момент инерции - уменьшилась скорость вращения. Убавил его - раскрутился быстрее.
Мы немного отклонились от исходной нашей темы - качания на качелях. Теперь в самый раз к ней вернуться. Ребята совершенно справедливо заметили, что одно из допущений, сделанных в начале разговора, все-таки не совсем верно. Я имею в виду утверждение, будто качаться на качелях можно, ни от чего не отталкиваясь. Хотя бы один раз оттолкнуться неизбежно приходится: от земли или любого неподвижного предмета. Иначе ведь не сдвинешь качели с места. Зато потом в самом деле никакие другие тела больше не понадобятся, кроме самих качелей и, конечно, своего собственного.
Когда качели приближаются к положению равновесия, то есть к самой нижней точке, вы быстро встаете. Момент инерции качелей с человеком уменьшается. Вследствие этого центр тяжести всей системы качели - человек приблизится к оси вращения (оси качелей). Качели задвигаются быстрее, а стало быть, и подлетят выше. Как только они на мгновение замрут в верхнем положении, вы резко приседаете. Зачем? Да просто вы этим увеличиваете момент инерции. Так как качели в этой точке неподвижны, это увеличение момента вроде бы совсем и не отразится на движении: замедляться-то уже некуда… Зато, падая вниз с большим моментом инерции, качели к положению равновесия накопят изрядный кинетический момент и, конечно, кинетическую энергию. Ее хватит для того, чтобы загнать качели с человеком еще выше наверх - и так далее. Таким образом амплитуда колебаний все больше увеличивается. Колебания эти в отличие от свободных называются параметрическими, так как при этом изменяется параметр движения - момент инерции тела.
Не прошло и минуты, как роли поменялись: теперь уже я оказался в роли ученика. Следующим опытом ребята поставили меня в тупик. И произведен был этот опыт на мне самом!
Выбрав диск-карусель, установленный на вертикальной оси, ребята попросили меня встать на его середину. Я встал и.„ сразу почувствовал, что диск под моими ногами начинает вращаться. Я старался по мере сил удерживать равновесие, но диск, словно назло, вращался все быстрее и быстрее, как будто внутри его был спрятан мотор, хотя было ясно видно, что никакого мотора нет. Под дружный хохот ребячьей аудитории я взмолился о пощаде. Диск остановили, и я, шатаясь, сошел с него в полном недоумении: что же это со мной было?..
Необходимо было как-то спасать свою репутацию. Я выбрал на площадке другой вращающийся диск, идеально горизонтальный (предыдущий был немного перекошен), и предложил ребятам, стоя на нем, повернуть его хотя бы на несколько оборотов. Как я и ожидал, никто не смог этого сделать. Тогда я взял ъ руки лежавшую неподалеку тяжелую палку, встал на центр диска и начал проделывать «магические» движения руками: резкий поворот вытянутой руки с палкой перед собой справа налево, вслед за этим подъем палки сбоку над головой и затем сразу в первоначальное положение. И разумеется, все сначала. И диск начал вращаться…
Теперь уже ребята решили самостоятельно попытаться восстановить картину физических явлений, приведших к вращению диска. И общими усилиями это удалось. Дело вот в чем. До поворота руки с палкой суммарный кинетический момент диска с грузом (мной) относительно оси вращения был равен нулю - система находилась в состоянии покоя. При повороте руки с палкой справа налево для сохранения нулевого кинетического момента диск со мной должен был повернуться слева направо, что и происходило. А при переводе палки в первоначальное положение над головой диск оставался в покое, так как рука вращалась в плоскости оси и оказать влияние на вращение диска это движение не могло. Итак, я крутил вокруг себя палкой, и диск рывками вращался. Причем угол поворота его был тем больше, чем резче я поворачивал руку с палкой.
(То же физическое явление решает и другой вопрос: какая бочка из двух одинаковых по размеру быстрее скатится с горы - полная или пустая. Конечно, полная, и дело тут не в массе. Снова играет роль момент инерции. Даже если пустая бочка будет такой большой, что ее масса окажется равна массе маленькой полной бочки, все равно пустая придет последней. У пустой бочки момент инерции больше, чем у полной бочки такой же массы: еще бы, ведь в первой из них вся масса максимально удалена от оси вращения. К концу спуска общая энергия обеих бочек одинакова: она равна произведению веса бочки на высоту горки. Но у пустой бочки из-за ее большого момента инерции большая часть энергии уходит на придание ей вращения, поэтому и линейная скорость ее оказывается меньшей, чем у полной, инерция вращения которой меньше. Так что полная бочка опережает пустую в полном соответствии с законам физики.
Пришло время расставаться с ребятами. И досадно было, что так я и не разгадал секрета вращения «заколдованного» диска. Но ребята не утерпели и сами рассказали мне о нем. Оказывается, не зря этот диск был слегка перекошен. Его вполне сознательно установили не горизонтально, а с небольшим наклоном по отношению к горизонту.
Став на середину такого наклонного диска, совершенно невозможно попасть точно в центр. Диск немедленно начинает проворачиваться под нашей тяжестью, пытаясь загнать нас в низшее, самое близкое к земле положение, чтобы наша потенциальная энергия была минимальной. Пытаясь сохранить равновесие, я непроизвольно переносил тяжесть своего тела на ту ногу, которая находилась выше. А диск реагировал на это новым поворотом, разгоняясь все быстрее и быстрее. Так что фокус был вовсе не в каком-то особом устройстве этого диска, а снова сработал всеобщий закон природы: всякая система стремится к минимуму потенциальной энергии. «Как же я сам не догадался, ведь это так просто!» - воскликнул я.
Я остался очень доволен посещением игровой площадки. Приятно было вспомнить детство: покачаться на качелях, покружиться на дисках. Но, наверное, еще приятнее и уж наверняка не менее полезно понять, осмыслить, что же с тобой происходит, каким образом твои самые простые каждодневные игры согласуются с законами механики, едиными и для песчинки, и для целой вселенной.
Как тут не вспомнить слова Козьмы Пруткова: «Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые, иначе такое бросание будет пустою забавою».
Н. ГУЛИА. Рисунки А. АННО. Журнал Юный техник.
В летний солнечный день сидел на детской площадке и, не смотря на недоумевающие взгляды отцов выгуливающих своих детей, вовсю раскачивался на детских качелях.
Рещил проверить и осмыслить необъяснимый с точки зрения ньютоновской механики факт безопорного раскачивания свободно подвешенных качелей.
Закон сохранения импульсов, так как мы его понимаем, говорит нам, что, сидя в качелях и
не имея опоры, качели раскачать нельзя. Опыт известный нам с детства говорит другое.
Для выяснения делаем два опыта.
Опыт 1. Качели висят не раскачиваясь. Сидя в качелях болтаем ногами, пытаясь раскачать качели.
При движении ногами качели всегда идут в противоположную сторону. Раскачивание не происходит.
Опыт 2. Оттолкнувшись от опоры сообщаем качелям начальную амплитуду колебаний. Опору отпускаем.
Пытаемся так же, только качая ногами под сиденьем, раскачать качели до большей амплитуды т.е. сообщить им бОльшее количество движения.
Это получается - при совпадении направления и ритма движения ногами и качелей.
Т.е. Для того чтобы увеличить количество движения нужно дополнительную силу ног двигать в ту же сторону что и двигаются качели. (!)
Именно это как то противоречит нашим представлениям о динамике движений. Качели должны,
как и в первом опыте, как и в случае реактивного движения, получать импульс противодействия (?) Качели являются замкнутой физической системой (на которую не действуют внешние силы) и в которой
действует закон сохранения импульсов.
Анализ и выводы.
1.
Итак. В первом опыте ноги и качели двигаются в разные стороны и сложение не происходит.
Во втором опыте при синхронном движении в одном направлении ног и качелей происходит аддитивный* эффект - сложение импульса движений. Это и приводит к раскачиванию качелей.
2.
Нашу систему нельзя назвать безопорной. Потому как опору она имеет - наверху в месте крепления шарнира. Используя эту верхнюю опору и инерцию движения, при жесткости конструкции, мы и отталкиваемся, раскачивая качели.
И никакого парадокса.
3.
Теперь немного подробнее на примере.
Возьмем небольшой брусок или палку. Подбросим ее перед собой так, чтобы она зависла в воздухе в горизонтальном положении. И в воздухе ударим по одному ее концу, направив силу удара вниз.
Другой конец палки подскочит вверх, поворачиваясь вокруг центра тяжести.
Центр тяжести становится опорой рычага.
Тоже происходит и с качелями. Только один конец рычага закреплен
и при динамическом воздействии, закрепленный конец и инерционная масса дают свойства опоры, опираясь на которую мы и раскачиваем качели.
* Аддитивный
(от лат. addere – добавлять) – суммарный, не образующий цельности
