Уравнение линии на плоскости
Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат
Определение 1
Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом
Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Уравнение прямой.
Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).
Так как прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.
Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:
Следовательно
Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:
Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат
Пример 1
Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим
\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=r^2\]
Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$
Получаем, уравнение окружности имеет вид:
\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=20\]
Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим
Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование : интерактивная доска.
План урока:
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
Ход урока
2. Повторение:
− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.
(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 7)
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
(Слайд 14)
№ 7. Заполнить таблицу.
(Слайд 15)
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х
– 5) 2 + (у
+ 3) 2 = 36;
б
) (х
+ 1) 2 + (у
– 7) 2 = 7 2 .
(Слайд 16)
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
| Дано: | Решение: | ||
| R | Координаты центра | ||
| 1 | А
(0 ; -6) В (0 ; 2) |
АВ
2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 . |
А
(0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр |
| 2 | А
(-2 ; 0) В (4 ; 0) |
АВ
2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. |
А
(-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр |
(Слайд 17)
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).
Решение.
R 2 = ОК
2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R =
13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
(Слайд 18)
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).
Решение.
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
(Слайд 19)
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).
Решение.
1. Центр окружности – А
(3;2);
2. R
= АВ
;
АВ
2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ
= 5;
3. Уравнение окружности (х
– 3) 2 + (у
− 2) 2
= 25.
(Слайд 20)
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Решение.
I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А
(1; -1) не лежит
на
окружности, заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
−
4) 2 =
25.
II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В
(0;8) лежит
х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С
(-3; -1) лежит
на окружности,
заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
Итог урока.
- Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
- (Слайд 21) Домашнее задание.
