Правильная шестиугольная призма углы основании. Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной

Правильная шестиугольная призма - призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

A B C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильная шестиугольная призма
a - длина стороны основания призмы
h - длина бокового ребра призмы
S осн . - площадь основания призмы
S бок . - площадь боковой грани призмы
S полн . - площадь полной поверхности призмы
V призмы - объем призмы

Площадь оснований призмы

В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной a . По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна

Таким образ

S осн . = 3 3 √ 2 ⋅ a 2

Таким образом, получается, что S A B C D E F = S A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами a и h . Следовательно, по свойствам прямоугольника

S бок . = a ⋅ h

У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна

S полн . = 6 ⋅ S бок . + 2 ⋅ S осн . = 6 ⋅ a ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a 2

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро A A 1 . В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем

V призмы = S осн . ⋅ A A 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2 ⋅ h

Правильный шестиугольник в основаниях призмы

Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы.

Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O.

По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что

A O = O D = E O = O B = C O = O F = a

Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . По свойствам равнобедренного треугольника.

A E = a ⋅ 2 (1 − cos E O A ) − − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ a

Аналогичным образом приходим к заключению, что A C = C E = 3 √ ⋅ a , F M = M O = 1 2 ⋅ a .

Находим E A 1

В треугольнике A E A 1 :

A A 1 = h
A E = 3 √ ⋅ a - как мы только что выяснили
∠ E A A 1 = 90 ∘

A E A 1

E A 1 = A A 2 1 + A E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 3 ⋅ a 2 − − − − − − − − √

Если h = a , то тогда E A 1 = 2 ⋅ a

F B 1 = A C 1 = B D 1 = C E 1 = D F 1 = h 2 + 3 ⋅ a 2 − − − − − − − − √ .

Находим E B 1

В треугольнике B E B 1 :

B B 1 = h
B E = 2 ⋅ a - потому что E O = O B = a
∠ E B B 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной прязмы

Таким образом, получается, что треугольник B E B 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

E B 1 = B B 2 1 + B E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √

Если h = a , то тогда

E B 1 = 5 √ ⋅ a

После аналогичных рассуждений получаем, что F C 1 = A D 1 = B E 1 = C F 1 = D A 1 = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √ .

Находим O F 1

В треугольнике F O F 1 :

F F 1 = h
F O = a
∠ O F F 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник F O F 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

O F 1 = F F 2 1 + O F 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + a 2 − − − − − − √

Если h = a , то тогда

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про .

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник . Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и . Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в . Ещё вам пригодится навык извлечения их большого числа. Можете на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.

Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны .

*Противолежащие стороны параллельны.

Дополнительная информация

Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. *Это подтверждается очень просто: если мы соединим противоположные вершины шестиугольника, то получим шесть равных равносторонних треугольников. Почему равносторонних?

У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 60 0 (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.

То есть правильный шестиугольник, образно говоря, состоит как бы из шести равных равносторонних треугольников.

Какой полезный для решения задач факт ещё следует отметить? Угол при вершине шестиугольника (угол между его соседними сторонами) равен 120 градусам.

*Умышленно не коснулись формул правильного N-угольника. Данные формулы мы подробно рассмотрим в будущем, здесь они просто не нужны.

Рассмотрим задачи:

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E 1 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA 1 E 1 . По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ 1 является гипотенузой, АА 1 и А 1 Е 1 катеты. Ребро АА 1 нам известно. Катет А 1 Е 1 мы можем найти используя используя .

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно

По теореме Пифагора:

Ответ: 96

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

Таким образом,

Ответ: 70

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E 1 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB 1 E 1 . По теореме Пифагора:

Отрезок B 1 E 1 равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть

Таким образом,

Ответ: 200

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD 1 D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD 1 , в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне.

Таким образом,

Ответ: 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 23. Найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

Ответ: 60

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 10. Найдите угол AC 1 C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC 1 C:

Найдём AC . В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Таким образом,

Значит, угол AC 1 C равен 60 градусам.

Ответ: 60

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 10. Найдите угол AC 1 C. Ответ дайте в градусах.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.